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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
Unidad 2
1.
En cada uno de los siguientes casos, decidir gráfica y analíticamente cuáles de los puntos pertenecen a la recta $L$.
a) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{2}: X=\lambda(-2,3)+(2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}$
a) $L=\left\{X \in \mathbb{R}^{2}: X=\lambda(-2,3)+(2,2), \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}$
$P_{1}=(2,2), P_{2}=(-2,3), P_{3}=(0,0), P_{4}=(12,-13), P_{5}=(2,-1)$.
Respuesta
Tenemos la recta $L$ con su ecuación paramétrica. Así que sabemos que todos los puntos que pertenecen a $L$ son de la forma...
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$\lambda(-2,3)+(2,2) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
con $\lambda \in \mathbb{R}$
Es decir, en la medida que reemplazamos $\lambda$ por los infinitos números reales, obtenemos todos puntos que pertenecen a $L$. Entonces, veamos para cada punto que nos propone el enunciado si existe ese $\lambda$ 😉
➡️ $P_{1}=(2,2)$
$(2,2) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
$\begin{cases} 2 = -2\lambda + 2 \\ 2 = 3 \lambda + 2 \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos $\lambda = 0$ y de la segunda ecuación obtenemos, también, $\lambda = 0$ ✔️
Por lo tanto, el punto $P_{1}=(2,2)$ si pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{2}=(-2,3)$
$(-2,3) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
$\begin{cases} -2 = -2\lambda + 2 \\ 3 = 3 \lambda + 2 \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos $\lambda = 2$, en cambio, de la segunda ecuación obtenemos $\lambda = \frac{1}{3}$ ❌ No coinciden, no hay un único valor de $\lambda$ tal que, al reemplazarlo en la recta, nos de el punto $(-2,3)$
Por lo tanto, el punto $P_{2}=(-2,3)$ no pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{3}=(0,0)$
$(0,0) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
$\begin{cases} 0 = -2\lambda + 2 \\ 0 = 3 \lambda + 2 \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos $\lambda = 1$, en cambio, de la segunda ecuación obtenemos $\lambda = -\frac{2}{3}$ ❌
Por lo tanto, el punto $P_{3}=(0,0)$ no pertenece a la recta $L$
➡️ $P_{4}=(12,-13)$
$(12,-13) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
$\begin{cases} 12 = -2\lambda + 2 \\ -13 = 3 \lambda + 2 \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos $\lambda = -5$, y de la segunda ecuación obtenemos, también, $\lambda = -5$ ✔️
Por lo tanto, el punto $P_{4}=(12,-13)$ si pertenece a la recta $L$
Vamos con el último!
➡️ $P_{5}=(2,-1)$
$(2,-1) = (-2\lambda +2, 3 \lambda + 2)$
$\begin{cases} 2 = -2\lambda + 2 \\ -1 = 3 \lambda + 2 \end{cases}$
De la primera ecuación obtenemos $\lambda = 0$, en cambio, de la segunda ecuación obtenemos $\lambda = -1$ ❌
Por lo tanto, el punto $P_{5}=(2,-1)$ no pertenece a la recta $L$
💡 Consejo, graficá la recta $L$ y cada uno de los puntos en GeoGebra 3D para chequear que los resultados a los que llegamos efectivamente son correctos :)
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